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| Name |
 임호준 |
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| Subject | ML 172호, 스웨덴 수학 올림피아드 168-1-3 |
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168-1-3 문제에서 고기혁 학생의 답안이 약간 틀린 것 같아 수정해봅니다.
확인해주세요.
문제. 삼각형 ABC의 각A와 각C의 이등분선이 대변과 각각 점 D와 E에서 만난다. 각B>60 이면, AE+CD<AC 임을 보여라.
틀린 부분.
답안에서 B/2 = ● 라고 놓고, ●<30 이라고 했네요. ●>30 인 것 같습니다만. 이런 식으로 따라가다가 맨 마지막에서 위의 식을 이용한 풀이가 나왔기에, 틀린 풀이라고 생각합니다. 도중에 A, E', D', C 순서로 점이 나열된다는 것도 틀렸는데, A, D', E', C 로 고쳐야 합니다. 그래서 이 부분들만 수정하고 풀면 될 것 같네요. ●>30 이라고 하고, 다시 풀어보겠습니다.
풀이.
AD와 CE의 교점은 내심 I 이므로 AC와 BI의 교점인 F에 대해 각ABF = 각CBF이다. 각 이등분 선에 대해, 각A = 2×, 각B = 2●, 각C=2○ 라 하자. B>60 => ●>30.
AC 위에 AE = AE' , CD = CD' 인 점 E', D' 을 잡자. 귀류법으로, 만일 AE+CD≥AC 라면, A, D', E', C 의 순서로 점이 나열되고, 각ID'C +각IE'A ≤180 이어야 한다. 그런데, △IAE≡△IAE', △ICD≡△ICD' 이므로
각ID'C +각IE'A = 각IDC + 각IEA = (×+2●) + (○+2●) = 90 + 3● > 180. 모순.
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수학에 대한 열정으로 살아가길...
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문제의 두 부등호가 모두 뒤바뀐 문제를 푼 것이 되어버렸군요;
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| 2007.07.02 - 23:57 |
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틀린 것은 아니고, 거의 필요충분임을 증명한 것인데 학생의 풀이를 수정할 때 잠깐 문제를 착각했나봐요.
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| 2007.07.03 - 00:00 |
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오타 1개. ML 1개호 연장~
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| 2007.07.03 - 00:04 |
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