|
| Name |
 임준혁 |
|
| Subject | 173-3(정수는 아닌 듯...) |
|
정수면 m=-1 n=-1이면 반례가 생기니까 아닌 것 같으니까 일단 자연수일 때만 증명해 놓을게요. (0은 의미가 없으므로)
일단 n|a이므로 n|m^2 +m이고 m,m+1은 서로소이므로 n|m 혹은 n|m+1이고,
m|a이므로 m|n^2인데
n|m+1일 때, n|n^2 +1인데 이것을 만족하는 n=1이 유일하고, m=a, m^2 +m+1=b인데, a|b를 만족하려면 m=1밖에 없으므로 성립하게 됩니다.
n|m일 때에는 m=kn이라면 kn|n^2이므로 k|n이 되고, kn^2 =a, (k^2 +1)n^2 +kn=b인데 b가 n^2의 배수이려면 n^2 |kn이고 따라서 k=n 그러면 a=n^3 b=n^4 +2n^2이 되는데 a|b려면 n^3 |2n^2 따라서 n=1 혹은 2
n=1일 때는 보였고, n=2일 때는 m=n^2이므로 4이고 대입해주면 성립합니다.
좀 조잡하게 푼 것 같습니다.
|
211.204.196.175 - Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1)
|
|
|
윤광원 |
|
저기 문제가 좀 있군요 ^^ n l m(m+1) 이라고 해서 n l m or n l (m+1) 은 아니죠 ^^
예를들어 n 이 6, m 이 2 라고 해보면 아니라는걸 확인할 수 있죠 ^^
제 풀이는 일단 kmn=m^2+n^2+m 이라고 한 뒤 먼저 gcd(m,n)=d 라고 합니다. 그럼 m=dm' n=dn'
gcd(m',n')=1 이라고 할 수 있죠
그런 뒤 준식에 대입합니다.
그럼 (d^2)km'n'=(d^2)(m'^2+n'^2)+dm' <=> dkm'n'=d(m'^2+n'^2)+m' 입니다.
이때, (mod d) 로 보면 m'과 0 이 합동입니다. 또 (mod m') 으로 보면 dn'^2 과 0 이 합동인데 gcd(m',n')=1 이므로 d와 0 이 (mod m') 으로 합동입니다.
결과적으로 d l m' , m' l d 이므로 m'=d 입니다.
그럼 준식은 다음과 같이 바뀝니다.
dkn'=d^2+n'^2+1
이 이후는 그 유명한 "(a^2+b^2)/(ab+1) 이 정수일때 그 수는 제곱수임을 보여라" 라는 문제에서 사용하는 무한강하법을 이용해 주면 쉽게 풀리게 됩니다.
즉, (d^2+n'^2+1)/dn' 이 정수일 때 k 가 3임을 보이면 문제는 해결됩니다.
그 유명한 문제는 학교시험 끝나고 곧장 올려 풀이를 마무리짓도록 하겠습니다.
알고싶으신 분들은 윤옥경 교수님께서 지으신 '수학올림피아드 대수학(정수론)' 의 종합문제 10회를 참고하세요. ^^
아! 그리구요 지금 173-4 도 풀려있긴 한데 그 풀이도 그때 올리겠습니다.
|
| 2007.04.21 - 16:19 |
| |
|
|
|
|
메일보내기
이름검색
홈페이지
Proposal(Geometry)취소
173-7
체크된 항목 삭제
체크된 항목 이동
체크된 항목 복사
